Primitives d'une fonction

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et admettant une primitive \(F\) sur cet intervalle.
Les primitives de la fonction \(f\) sur \(I\) sont les fonctions de la forme \(x \mapsto F(x)+C\), où \(C\) est une constante réelle.

Exemple

Soit \(F\) et \(G\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x)=x^2-3x\) et \(G(x)=x^2-3x+5\).
Pour tout \(x\) réel, on a \(F'(x)=2x-3\) et \(G'(x)=2x-3\).
Les fonctions \(F\) et \(G\) ont la même dérivée, mais ne sont pas égales. 
Plus précisément, pour tout réel \(x\), on a \(G(x)=F(x)+5\).
Les fonctions \(F\) et \(G\) sont deux primitives différentes d'une même fonction.

Démonstration

On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et admettant une primitive \(F\) sur cet intervalle.

Soit \(G\) la fonction définie, pour tout réel \(x\) de \(I\), par \(G(x)=F(x)+C\), où \(C\) est un réel.
Alors, pour tout réel \(x\) de \(I\), on a \(G'(x)=F'(x)+0=f(x)\).
Donc \(G\) est bien une primitive de \(f\) sur \(I\).

Soit \(G\) une autre primitive de la fonction \(f\) sur \(I\).
Alors, pour tout réel \(x\) de \(I\), on a \(G'(x)=f(x)\).
Comme \(F\) est une aussi primitive de \(f\) sur \(I\), on a, pour tout réel \(x\) de \(I\), \(F'(x)=f(x)\).
Ainsi, pour tout réel ​​\(x\) de \(I\), \(G'(x)-F'(x)=0\), c'est-à-dire \((G-F)'(x)=0\).
La fonction \(G-F\) a une dérivée nulle sur \(I\) donc \(G-F\) est constante sur \(I\).
On note \(C\) cette constante.
Alors, pour tout réel \(x\) de \(I\), on a \(G(x)-F(x)=C\), c'est-à-dire \(G(x)=F(x)+C\).

Remarques

• Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité.
  
• Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.